Unidad V

Regresión Y Correlación

Control de Calidad: El Control de la Calidad se posesiona como una estrategia para asegurar el mejoramiento continuo de la calidad. Programa para asegurar la continua satisfacción de los clientes externos e internos mediante el desarrollo permanente de la calidad del producto y sus servicios.

Concepto que involucra la orientación de la organizacion a la calidad manifestada en la calidad de sus productos, servicios, desarrollo de su personal contribución al bienestar general.

Diagrama de Dispersión: Los Diagramas de Dispersión o Gráficos de Correlación permiten estudiar la relación entre 2 variables. Dadas 2 variables X e Y, se dice que existe una correlación entre ambas si cada vez que aumenta el valor de X aumenta proporcionalmente el valor de Y (Correlación positiva) o si cada vez que aumenta el valor de X disminuye en igual proporción el valor de Y (Correlación negativa).

En un gráfico de correlación representamos cada par X, Y como un punto donde se cortan las coordenadas de X e Y.

Regresión Lineal Simple: Es un método matemático que modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes X_i y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

Donde β₀ es la intersección o término "constante", las β_i son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Método de Mínimos Cuadrados: El método consiste en considerar las mínimas desviaciones que se tienen con respecto a la mejor aproximación, por lo que pudiéramos considerar las desviaciones que se generan con respecto al eje de la vertical. Sean las coordenadas las de puntos sobre la línea de aproximación, o también llamada recta de regresión y sean los puntos de la muestra a considerar de coordenadas por lo que las desviaciones verticales con respecto a los puntos las podemos expresar de la forma a las que en ocasiones se les conoce como error.

Contraste de Hipótesis: Es una técnica de inferencia estadística para juzgar si una propiedad que se supone cumple una población estadística es compatible con lo observado en una muestra de dicha población.

Correlación: Indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa.

Distribución normal bidimensional: La distribución normal n-dimensional Nn(m,S) es una generalización de la distribución normal univariante.

Propiedades:

• Para n=1 la función de densidad anterior es la de la distribución normal unidimensional.
• Si m = 0 y S = I (matriz identidad) entonces la distribución se denomina normal n-dimensional estándar, Nn(0,I)
• Si Z=(Z1,...,Zn) tiene una distribución normal n-dimensional estándar, A=(aij) es una matriz cuadrada de orden n con determinante no nulo y m=(m1,..,mn)' es una matriz columna nx1 entonces la variable

X=AZ+m

Unidad IV

Distribuciones de muestreo

Si las variables aleatorias x_1.x₂...........x_n. tienen la misma función de densidad de probabilidad que la de la distribución de la población, entonces x₁.x₂............x_n forman un conjunto de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) que constituyen una muestra aleatoria de la población.

Teorema de Limite Central

Sean x₁.x_2.........x_n, n variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con media m y varianza s² ambas finitas. La suma de esas variables S_n = x₁+x₂+ ...+ x_n es una variable aleatoria con media nm y varianza ns², entonces

se distribuye como una normal N(0;1). En otras palabras, el teorema expresa que cuando n crece sin límite, la variable z tiende a distribuirse normalmente. Si las variables no son idénticamente distribuidas, se podría demostrar igualmente que: z = se distribuye como una normal N(0;1), es decir que la suma de variables independientes tiende a ser normal con media suma de medias y varianza suma de varianzas.

La aproximacion a la depende del tamaño de la muestra.

Se concluye que la media de la medias va a ser igual a la media de la poblacion.

Cual es el tamaño adecuado de la distribucion?
Si el tamaño de la muestra es menor que 30 se puede aplicar el teorema de limite cental para una poblacion con cualquier tipo de distribucion de probabilidad.

Si el tamaño de la muestra es menor que 30 es necesario asegurarse que la distribucion de probabilidad de la poblacion es normal.

Diferencia de Medias
Sean dos poblaciones con media μ1 y μ2 y var1 y var2:

*El tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 30.

Distribucion "t"
Se usa en el caso en que tenemos una poblacion normal pero el tamaño de la muestra es pequeño y varianza poblacional desconocida.

Intervalo de confianza: nivel de seguridad de que el valor observado caiga dentro del parametro.

Problema distribucion "t"
El fabricante de un propulsor utilizado en un sistema de escape de emergencia le gistaria afirmar que su producto tiene una tasa promedio de 40in/min para investigar esta informacion el fabricante pureba 25 granos de propulsor, seleccionados al azar, y si el valor de t calculado cae entre -to.o5, 24 y to.o5, 24 entonces queda satisfecho. A que conclusion debe llegar el fabricante si tiene una muestra con una media de 42,5 in/min y una desviacion estandar muestral de 0.75 in/min.
Supongase que la tasa del propulsor tiene una distribucion normal.

n= 25

=42.5

S=0.75

μ= 40

=(42.5 - 40)/(o.75/5)
= 2.5/(0.15)
t = 16.66

Distribución χ²

En estadistica, la distribución ji-cuadrada, también denominada ji-cuadrado de Pearson, es una distribucion de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria:

donde Z_i son variables de distribucion normal, de media cero y varianza uno.

Distribucion "F"

Supóngase que deseamos comparar las varianzas de dos poblaciones normales basados en la información contenida en muestras aleatorias independientes de las poblaciones. Supóngase que una muestra aleatoria contiene n₁ variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común y que la otra muestra aleatoria contiene n₂ variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común . Si calculamos de las observaciones en la muestra 1, entonces es una estimación de . De manera similar calculada a partir de las observaciones de la segunda muestra es una estimación para . Así intuitivamente podríamos pensar en utilizar para hacer inferencias con respecto a las magnitudes relativas de y ; si dividimos cada por entonces la razón siguiente:

= tiene

Prueba de Hipotesis

El nivel de confianza determina los valores criticos.

-Se pruebab los parametros de la poblacion y esos parametros se han obtenido por experiencia en el proceso.

Tipos de Hipotesis

• Bilaterales

  

• Unilaterales
  
  

  

  
  

Ho: Hipotesis Nula: Hipotesis que se pone a prueba.
H1: Hipotesis Alternativa: Hipotesis que se intenta probar.

Hipotesis Bilateral

Ho: μ=50
H1: μ=! 50

Hipotesis Unilateral

Ho: μ<50>μ>50

• Pasos para resolver un problema en el que usamos hipotesis.

1. Del contexro del problema, identificar el parametro de interes.
2. Establecer la hipotesis nula.
3. Especificar una apropiada hipotesis alternativa.
4. Seleccionar el nivel de significancia (alfa)
5. Establecer un estadistico apropiado.
6. Establecer la region de rechazo.

7. Calcular las cantidades muestrales y sustituir en el estadistico.
8. Decidir si se debe rechazar la hipotesis.

• Criterios de Decision

Si Z> z o Z< -z 9. Conclusion.

*Un Parametro es una caracterización numérica de la distribución de la población de manera que describe, parcial o completamente la función de densidad de población de la característica de interés.

*Una Estadística (un estadístico) es cualquier función de las variables aleatorias que se observaron en la muestra, de manera que esta función no contiene cantidades desconocidas.

*La distribución de muestreo de una estadística es la distribución de probabilidad que puede obtenerse como resultado de un número infinito de muestras aleatorias independientes, cada una de tamaño n provenientes de la población de interés.

En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador y las consecuencias posibles.

Ejemplo: Los sistemas de escae de emergencia para tripulaciones de aeronaez son impulsados por un combustible solido, una de las caracteristicas importantes de este producto es la rapidez de combustion, las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustion sea de 50 cm/s. Se sabe que la desviacion estandar de la poblacion es 2 cm/s. El experimento decide especificar una probailidad para el error tipo 1, con nivel de significancia de 0.05. Selecciona una muestra aleatoria de 25 y obtiene una rapidez promedio muestral de combustion de 51.3 A que conclusion debemos llegar? D.E.= 2 cm/s nivel de sig.= 0.05 n= 25

Ho: μ=50
H1: μ=! 50

Z= (51.3 - 50)/(2/5)
= 1.3/0.4
= 0.325


Region de Rechazo
zo.o5= 1.96
- zo.o5=-1.96

• Condiciones

Z> z o Z< -z

por lo tanto, la produccion no esta cumpliendo con las especificaciones de que el promedio de combustion sea de 50 cm/s.

Ejemplo

El jefe de la Biblioteca Especializada de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UNAC manifiesta que el número promedio de lectores por día es de 350. Para confirmar o no este supuesto se controla la cantidad de lectores que utilizaron la biblioteca durante 30 días. Se considera el nivel de significancia de 0.05

Datos:

Día	Usuarios	Día	Usuarios	Día	Usuario
1	356	11	305	21	429
2	427	12	413	22	376
3	387	13	391	23	328
4	510	14	380	24	411
5	288	15	382	25	397
6	290	16	389	26	365
7	320	17	405	27	405
8	350	18	293	28	369
9	403	19	276	29	429
10	329	20	417	30	364

Solución: Se trata de un problema con una media poblacional: muestra grande y desviación estándar poblacional desconocida.

Seleccionamos la hipótesis nula y la hipótesis alternativa

Ho: μ═350

Ha: μ≠ 350

Nivel de confianza o significancia 95%

α═0.05

Calculamos o determinamos el valor estadístico de prueba

De los datos determinamos: que el estadístico de prueba es t, debido a que el numero de muestras es igual a 30, conocemos la media de la población, pero la desviación estándar de la población es desconocida, en este caso determinamos la desviación estándar de la muestra y la utilizamos en la formula reemplazando a la desviación estándar de la población.

Calculamos la desviación estándar muestral y la media de la muestra empleando Excel, lo cual se muestra en el cuadro que sigue.

Columna1
Media	372.8
Error típico	9.56951578
Mediana	381
Moda	405
Desviación estándar	52.4143965
Varianza de la muestra	2747.26897
Curtosis	0.36687081
Coeficiente de asimetría	0.04706877
Rango	234
Mínimo	276
Máximo	510
Suma	11184
Cuenta	30
Nivel de confianza (95.0%)	19.571868

Formulación de la regla de decisión.

La regla de decisión la formulamos teniendo en cuenta que esta es una prueba de dos colas, la mitad de 0.05, es decir 0.025, esta en cada cola. el área en la que no se rechaza Ho esta entre las dos colas, es por consiguiente 0.95. El valor critico para 0.05 da un valor de Zc = 1.96.

Por consiguiente la regla de decisión: es rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor Z calculado no queda en la región comprendida entre -1.96 y +1.96. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si Z queda entre -1.96 y +1.96.

Toma de decisión.

En este ultimo paso comparamos el estadístico de prueba calculado mediante el software Minitab que es igual a Z = 2.38 y lo comparamos con el valor critico de Zc = 1.96. Como el estadístico de prueba calculado cae a la derecha del valor critico de Z, se rechaza Ho. Por tanto no se confirma el supuesto del Jefe de la Biblioteca.

Conclusiones:

• Se rechaza la hipótesis nula (H_o), se acepta la hipótesis alterna (H₁) a un nivel de significancia de α = 0.05. La prueba resultó ser significativa.
• La evidencia estadística no permite aceptar la aceptar la hipótesis nula.